Η διαχρονική αξία του χρήματος γνωστή και ως «time value of money» είναι μια πολύ βασική έννοια στα χρηματοοικονομικά η οποία με απλά λόγια βασίζεται στην αρχή ότι ένα ευρώ σήμερα αξίζει περισσότερο από ένα ευρώ στο μέλλον. Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχουν τρεις βασικοί παράμετροι που μεσολαβούν μεταξύ του παρόντος και του μέλλοντος: το κόστος ευκαιρίας, οι κίνδυνοι και ο πληθωρισμός. Με βάσει αυτές τις τρεις παραμέτρους διαμορφώνεται ο συντελεστής προεξόφλησης, το discount rate όπως λέγεται. Το discount rate είναι εκείνος ο συντελεστής ο οποίος θα ανάγει την ονομαστική αξία ενός ευρώ στο μέλλον στην οικονομική αξία που έχει σήμερα, θα την ανάγει δηλαδή σε παρούσα αξία ή αλλιώς σε present value.
Το αντίθετο του present value είναι το future value, η μελλοντική αξία δηλαδή. Το future value ως έννοια είναι πιο απλή από το present value. Έχουμε μια επένδυση ενός ποσού σήμερα με συγκεκριμένη απόδοση η οποία καθορίζεται από το επιτόκιο, το interest, και στο τέλος της περιόδου θέλουμε να ξέρουμε ποια θα είναι η συνολική αξία της επένδυσης καθώς στην αρχική επένδυση έχουν προστεθεί πλέον και οι τόκοι.
Η φόρμουλα για το υπολογισμό του Future Value και του Present Value έχει ως εξής:
όπου i είναι το interest rate στη περίπτωση του future value ή το discount rate στη περίπτωση του present value και n είναι η χρονική περίοδος,
Discount rate vs Interest Rate
To discount rate (το οποίο αποτελεί την ελάχιστη απαιτούμενη απόδοση ή αλλιώς το required rate of return) είναι ο συντελεστής με τον οποίο «θα μετατρέψουμε το future value σε present value». Όσο υψηλότερο είναι το discount rate τόσο μικρότερο είναι το present value που θα προκύψει και όσο μικρότερη είναι η επένδυση που πραγματοποιείται σήμερα για την απόκτηση μιας μελλοντικής αξίας τόσο μεγαλύτερη είναι η απόδοση.
Το interest rate είναι ο συντελεστής που εφαρμόζεται στο present value για να υπολογίσουμε το future value. O μηχανισμός που λειτουργεί το interest rate και το discount rate είναι βασικά ο ίδιος.
Simple interest, compound interest και continuous interest rate
Στη περίπτωση του ανατοκισμού (compound interest) οι τόκοι σε κάθε περίοδο κεφαλοποιούνται και προστίθενται στο προηγούμενο υπόλοιπο που έχει προκύψει από την ονομαστική αξία πλέον τους κεφαλαιοποιηθέντες τόκους που έχουν προκύψει από τις προηγούμενες περιόδους. Στη περίπτωση του απλού τόκου (simple interest), οι τόκοι υπολογίζονται κάθε φόρα πάνω στην ονομαστική αξία και μόνο. Για το λόγο αυτό κάθε φορά οι τόκοι είναι σταθεροί όταν υπολογίζεται το future value με simple interest rate.
Για παράδειγμα επενδύω 100 ευρώ με απόδοση 5%, το πρώτο χρόνο τα χρήματα μου γίνονται 105 ευρώ, το δεύτερο χρόνο τα 105 ευρώ με απόδοση 5% θα γίνουν 110,25 ευρώ, καθώς έχουμε εδώ τη περίπτωση του compound interest. Εάν είχαμε την περίπτωση του simple interest την πρώτη χρονιά θα είχα 105 ευρώ, την δεύτερη 110 ευρώ, και κάθε χρόνο η αξία της επένδυσής μου θα αυξανόταν σταθερά 5 ευρώ.
Ας δούμε στη συνέχεια ορισμένα παραδείγματα υπολογισμού του future value με simple interest και compound interest και θα δούμε επίσης και τη περίπτωση του continuous interest rate. Επίσης θα δούμε πως γίνεται ο υπολογισμός του future value όταν έχουμε διαφορετικές περιόδους ανατοκισμού, όπως ετήσιο, εξαμηνιαίο, και μηνιαίο ανατοκισμό.
Compound interest vs simple interest
Στο διάγραμμα παρουσιάζεται μια επένδυση 100€ για 15 χρόνια με επιτόκιο 10%. Βλέπουμε τη περίπτωση του compound interest όπου το future value της επένδυσης είναι 418€ και την περίπτωση του simple interest όπου το future value είναι 250€. Βλέπουμε ξεκάθαρα πως το compound interest μεγεθύνει την απόδοση της επένδυσης.
Οι τύποι που χρησιμοποιήθηκαν είναι οι εξής:
- compound interest: FV = PV x (1+i)n και
- simple interest: FV=PV x i x n
όπου:
FV= future value
PV=present value
i=(ετήσιο επιτόκιο)
n=περίοδος
Μπορείτε να κάνετε dowload το excel: Interest Rates FV για να δείτε τους υπολογισμούς
Υπάρχου δυο εξισώσεις για τον υπολογισμό του compound interest που θα πρέπει να γνωρίζουμε
η πρώτη αφορά την κλασσική περίπτωση του ανατοκισμού, πχ με ανατοκισμό ανά έτος, ανά εξάμηνο, μήνα, εβδομάδα κλπ, και έχει ως εξής:
FV=PV(1+ i/n)nt
FV= future value
PV=present value
i=(ετήσιο επιτόκιο)
n=περίοδος
t = πόσες φορές γίνεται ο ανατοκισμός σε μια συγκεκριμένη περίοδο
Και η δεύτερη εξίσωση που αφορά το continuous interest rate και έχει ως εξής:
FV=PV x eit
Με την επιπλέον μεταβλητή,
e = μαθηματική σταθερά, η οποία αποτελεί τη βάση του φυσικού λογαρίθμου και είναι περίπου ίση με 2,71828
Πηγή: https://el.wikipedia.org, e (μαθηματική σταθερά),
H διαφορά στη δεύτερη εξίσωση όπως είπαμε είναι ότι ο ανατοκισμός γίνεται συνεχώς και όχι περιοδικά (πχ ανά μήνα, εξάμηνο, έτος κλπ)
Παραδείγματα
Στο πρώτο παράδειγμα υπολογίζουμε το future value μιας επένδυσης 20.000 €, διάρκειας 30 ετών και επιτόκιο 8% με μηνιαίο ανατοκισμό. Προσέχουμε στη φόρμουλα να διαιρέσουμε το interest rate (επιτόκιο) με το 12 καθώς είναι μηνιαίος ο ανατοκισμός, εάν ήταν ανά εξάμηνο θα διαιρούσαμε με το 2, ενώ εάν ήταν μια φορά το χρόνο τότε με το 1.
Στο δεύτερο παράδειγμα με τη βοήθεια της λειτουργίας Goal Seek του excel βρίσκουμε το present value καθώς έχουμε όλες τις υπόλοιπες μεταβλητές γνωστές. Η συνάρτηση Goal Seek μας δίνει τη δυνατότητα να λύνουμε μαθηματικές εξισώσεις με τρόπο εξαιρετικά εύκολο.
Στο τρίτο παράδειγμα πάλι με τη βοήθεια της λειτουργίας Goal Seek του excel βρίσκουμε την απόδοση που πρέπει έχουμε έτσι ώστε τα 10.000€ σήμερα να γίνουν 100.000€ σε 20 χρόνια. Η απόδοση αντιστοιχεί με το interest rate.
Στο τέταρτο παράδειγμα πάλι με τη βοήθεια της λειτουργίας Goal Seek του excel βρίσκουμε πόσα χρόνια θα χρειασθεί για να φτάσει μια αρχική επένδυση 50,000€ στις 500.000€ όταν το επιτόκιο είναι 8%. Θα χρειασθούν λοιπόν 27,9 χρόνια.
Και στο τελευταίο παράδειγμα υπολογίζουμε το future value μιας επένδυσης 20.000 €, διάρκειας 30 ετών και επιτόκιο 8% με συνεχή όμως ανατοκισμό (continues interest rate). Το τελευταίο παράδειγμα έχει τις ίδιες μεταβλητές με το πρώτο παράδειγμα διαφέρει όμως στη μορφή του ανατοκισμού καθώς εδώ εφαρμόζεται το continuous interest rate
Η Finance Skills (https://financeskills.gr ) παρέχει επαγγελματική εκπαίδευση στην εφαρμοσμένη χρηματοοικονομική με τη χρήση μοντέλων excel, αναλυτικών σημειώσεων, video-παρουσιάσεων καθώς και άλλου υποστηρικτικού υλικού.
Μπορείτε να δείτε το αναλυτικό εκπαιδευτικό μας πρόγραμμα σε αυτό το link: https://financeskills.gr/wp-content/uploads/2020/03/syllabus.pdf